谷村です。
私もElsevierの雑誌に投稿するのでelsart.clsをよく使います。Lyxは使っていま
せんが、当てずっぽうで解決方法を２つ。
１．elsart.clsをカレントディレクトリ（執筆している論文のTeXソースある
ディレクトリ）に置く。面倒なことを考えなくてよいので、デフォルトで
用意されていないclsやstyはカレントによく置きます。別の機会に同じ
clsやstyが必要になれば、そのファイルだけ ln -s でシンボリックリン
クを張っています。そうすれば無駄にHDDの容量が増えません。
２．ルート権限で mktexlsr を実行する